Warum ist die Vaterschaftswahrscheinlichkeit immer kleiner als 100 % ?

Die Verwandtschaftswahrscheinlichkeit wird immer nach dem Theorem von Bayes berechnet. Der englische Mathematiker Thomas Bayes (1702-1761) hat 1763 mit seiner Publikation: "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances" den Weg für das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten geebnet. Diese Publikation ist ein Klassiker der Naturwissenschaften. Der Bayes'sche Ansatz kann im Prinzip in allen Wissenschaftsbereichen angewendet werden, wenn bestimmte Systeme inhärente Unsicherheiten aufweisen und eine mathematisch exakte Berechnung NICHT möglich ist. Im Zusammenhang mit Bayes'scher Mathematik benutzt man oft die Begriffe: Unsicherheit, Schätzung, Schätzwert, eben, weil bestimmte Probleme nicht exakt beschrieben werden können.

Berechnung von Unsicherheiten beim Abstammungstest

Entsprechende Unsicherheiten ergeben sich auch bei einem Vaterschaftstest, genau dann, wenn die Vaterschaft NICHT ausgeschlossen werden kann. Im Gegensatz dazu wird der Ausschluss der Vaterschaft in der Regel per Definition als 100 % sicher bezeichnet, wenn ein bestimmtes Kriterium erfüllt ist, nämlich wenn mindestens VIER der getesteten DNA-Marker KEINE gemeinsamen Erbmerkmale zwischen Vater und Kind zeigen. Die mathematische Behandlung des Ausschlusses der Vaterschaft ist allerdings umfangreicher als meist dargestellt. Das mindestens vier Marker verschieden sein müssen, ist lediglich eine Daumenregel, die außerhalb der Bayes'schen Methode für eine einfache Beschreibung des Ausschlusses benutzt wird. Die korrekte mathematische Behandlung des Ausschlusses nach Bayes soll aber hier nicht näher besprochen werden (bei Fragen wenden Sie sich bitte gerne an das Team der bj-diagnostik GmbH).

Beim Vaterschaftstest ist es im Normalfall so, dass lediglich ein möglicher Vater getestet wird. Vor dem Test gibt es eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, dass er der Vater ist (a priori). Anhand der Bedingungen kann man dann die Wahrscheinlichkeit (a posteriori) berechnen. Die sich daraus ergebende Gesamtwahrscheinlichkeit ist selbstverständlich immer kleiner als 100 %, kann aber prinzipiell dem Wert von 100 % beliebig nahe kommen. 99,99999 % ist näher an 100 % als 99,99 %. Es handelt sich um einen relativen Wert in Abhängigkeit der Bedingungen, also der Information die man für die Berechnung zur Verfügung hat.

Diese Bedingungen setzen sich aus zwei Hauptfaktoren zusammen:

Wie viele und welche Personen werden getestet

A) wird die Mutter mitgetestet oder nicht. Liegt das DNA-Profil der Mutter vor (Vater/Kind und Mutter) wurden getestet, so hat man mehr Information und man kann damit rechnen mehr Neuner hinter dem Komma zu erreichen, als ohne das DNA-Profil der Mutter.

Wie viele und welche DNA-Marker werden getestet

B) Die Zahl und die Art der verwendeten DNA-Marker spielt ebenfalls eine Rolle. Auch hier gilt wieder, je mehr Marker getestet werden, je mehr Neuner findet man hinter dem Komma. Aber auch die Menge und Verteilung der Erbmerkmale (Allele) auf einem Marker spielen eine Rolle. Nehmen wir den Marker TPOX (Chromosom 2) als Beispiel, in der deutschen Bevölkerung findet man die Allele 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13.

Die Häufigkeit dieser Allele ist nun Gauß ähnlich verteilt, d.h. die Allele an den Enden 5,6 und 12, 13 sind seltener, als die Allele in der Mitte (7,8,9,10,11). Solche Verteilungen findet man in der Natur sehr oft. Nehmen Sie nur einmal die Kinder einer 7 Klasse und sehen Sie sich die Größenverteilung an. Dabei finden Sie wenige ganz kleine und wenige ganz große Kinder. Die Mehrzahl wird eine mittlere Größe haben und im Vergleich zu den Allelen der Reihe (7,8,9,10,11) entsprechen. Haben Vater und Kind auf den untersuchten Markern nun überwiegend seltene Allele gemeinsam, findet man wieder mehr Neuner hinter dem Komma, als wenn sie überwiegend häufig vorkommende Allele gemeinsam hätten.

Berechnung der Vaterschaftswahrscheinlichkeit nach der Essen-Möller Formel bei einer a priori Wahrscheinlichkeit von 50 %:

W = LR/(LR+1)

LR= likelihood ratio, Wahrscheinlichkeitsquotient. W = Wahrscheinlichkeit

Für den Normalfall sind zwei Hypothesen nach Bayes gegeneinander zu vergleichen: a) der getestete Mann ist der Vater gegen, b) ein anderer Mann, der zum getesteten Mann nicht verwandt ist, ist der Vater. Aus dem Quotient der Wahrscheinlichkeiten der beiden Hypothesen ergibt sich der LR-Wert. Wenn man die obige Formel lesen/verstehen kann, sieht man sofort, warum der Wert der Abstammungswahrscheinlichkeit IMMER kleiner ist, als 100%.

Andere Beispiele für die Verwendung des Thorems nach Bayes

Email Spam Filter sind oft nach diesem Verfahren aufgebaut. Dabei gibt es vordefinierte Bedingungen oder auch Bedingungen, die man selbst definiert anhand derer dann entschieden wird, ob eine email Spam ist oder nicht. Es werden also die beiden Hypothesen: a) eine email ist Spam gegen die Alternativhypothese b) eine email ist kein Spam, getestet.

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